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任何晶体布局中的肆意行列标的目的皆是平移轴

发布日期: 2019-11-23 浏览次数:

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  第七章 晶体内部布局的微不雅 布局和空间群 总结 格子构制中存正在的对称要素: 对称轴:L1、L2、L3、L4、L6 倒转轴:Li1(=C)、Li2(=m)、Li3、Li4、Li6 螺旋轴:21、31、32、41、42、43、 61、62、63、64、65 滑移面:a、b、c、n、d 平移轴:十四种挪动格子,P(R)、C(A、B)、I 和F 以第62号空间群 ——Pnma为例: 国际符号中的P代表原始格子, 点群为斜方晶系的mmm, 因为正在[100]标的目的有n滑移面、[010]标的目的有对称面m、[001]标的目的上存正在a滑移面,故而点群符号mmm换成了nma。 7.3.2 空间群的符号 各晶系空间群国际符号中的标的目的性取点群不异。 一般点群符号是由不跨越3个的字母记号形成的,按挨次,且视晶系的分歧,每个记号代表了各标的目的上的对称轴(对称轴、倒转轴、螺旋轴),或取该标的目的垂曲的对称平面(对称面、滑移面)。 当正在统一个标的目的上同时有对称轴和取之垂曲的对称性平面存正在,则写成分号的形式。如4/m即代表该标的目的上有一L4同时还有一个对称面取它垂曲。 若是晶体中取某一相对应的标的目的上没有对称元素存正在,则用“1”来填补空白。 7.3.2 空间群的符号 7.3.2 空间群的符号 7.3.3 空间群的等效点系 等效点系(set of equivalent positions)是指晶体布局中由一原始点经空间群中所有对称元素的感化所推导出来的法则点系,或简单的说是空间群中对称元素联系起来的一套点集。这些点所分布的空间称为等效(equivalent positions)。 等效点系凡是都只考虑正在一个单元晶胞范畴内的环境,用分数坐标或者单胞中点集的图形暗示。 若是等效点系取某对称元素存正在特定设置装备摆设关系(如平行、垂曲),如许的等效点系称为特殊等效点系,不然为一般等效点系。 7.3.3 空间群的等效点系 一个空间群有一套一般点系以及若干套特殊点系,别离赐与分歧的记号,如用a,b,c,d,e,f,g…等小写字母。对等效点系的描述包罗反复点数、魏科夫(Wyckoff)符号、点上的对称性、点的坐标等内容。 反复点数就是单胞内含有的等效点系的等效点数目。 点上的对称性是指该套等效点系的等效点所处上的对称性。 7.2 二维空间群 我们考虑将4(C4)取正方P晶胞调集的环境。图中所示是正方P晶胞,4个顶角为格点。按照《国际表》中的方式,取左上角格点为原点,取a向下,b向左。我们能够采纳以下步调推导:(1)正在左上角原点附近取一个一般点,坐标为xy,如图中a点。 (2)将4次对称轴置于原点,于是正在4次轴感化下,获得3个新的点,如图中b,c,d点,其坐标为-yx,-x-y,y-x。 7.2 二维空间群 (3)按照平移对称性各顶角格点四周也应有同样排布的点,它们是由上述4个点加a,加b和加(a+b)而获得。例如,b?点坐标是(1-y,x),c ?点坐标是(1-x,1-y), d?点坐标是(y,1-x),f点坐标是(-x,1-y)。 7.2 二维空间群 (4)按照点的分布找出新添加的对称要素。例如,由a,b ?,c ?,d ?关系能够找出位于晶胞核心的4次轴,如图中的i;由a,f关系能够找出位于晶胞边心的2次轴,如图中m。 (5)最初,由已知对称要素的彼此感化,找出其它所应有的4次轴和2次轴。 7.2 二维空间群 几点申明: (1)每个格点四周有4个点,这是点群4(C4)的等效点系,它所代表的是一个具有点群4(C4)对称性的物理实体,也是对于于一个格点的基元。因而,这里会商的是晶体布局,而不是纯真的平面点阵。 (2)正在晶胞内有4个点,这是平面群P4的一般等效点系,是对应于晶胞的物理实体。平面群一般等效点数g和点群一般等效点数h之间的关系是g=nh,此处n是晶胞的格点数。 7.2 二维空间群 (3)晶胞内除格点具有4(C4)的对称性外,还有其它也具有必然的对称的特殊。它们具有的对称性称为对称性。例如,(1/2,1/2)点的对称性为4(C4),(1/2,0)和(0,1/2)两个点的对称性为2(C2)。这些正在《国际表》顶用字母a,b,c….,按对称性从高到低暗示,称为乌科夫符号。 (4)对于用乌科夫符号区别开来的各个,都有如许的关系,点群的阶乘以晶胞此种的个数等于平面群一般等效点数。现实上,这恰是g=nh所表达的内容,由于h是点群的阶,n是个数(晶胞的格点数)。(群的阶是指群的元素个数, 点群一般等效点数) 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 正方晶系的两种点群取P晶胞连系当前导出两种点式平面群,即P4和P4mm。前一种平面群中插手滑移线g和后一种平面群中将一组m换成g,成果是一样的,发生非点式平面群P4gm。 一个曲不雅的方式是将g放正在垂曲于a并通过4次轴的,这将导出一个一般等效点数为16的大晶胞。 能够从头拔取一个面积减为1/2的晶胞,而且它才是实正的正方P晶胞,只是标的目的比阿谁大晶胞转了45?角,如图中虚线所示。这时,仍然有g垂曲于a,但欠亨过4次轴,另一组m垂曲于a+b,也欠亨过4次轴。对这个准确的晶胞从头取根基对称要素,仍可取为4gm,所以平面群符号仍然是P4gm。从图中能够看到,一起头放进晶胞的那条滑移线现正在变到对角线标的目的,变成非根基对称要素。 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 (1)我们正在晶胞的原点处放一个4次轴,正在垂曲于a的标的目的放一个通过1/4,0的滑移线点的反映线。这些,是从国际符号P4gm得知的根基对称要素。 (2)正在原点附近取一个一般点xy,如图中的p点,于是正在4次轴的感化下,能够获得环绕原点的4个点。 (3)按照平移对称性,每一个顶角处格点的四周都应有4个取原点四周同样排布的点。 (4)正在滑移线的感化下,我们又获得处于晶胞核心区域的4个对称点。好比,p点经滑移操做到q点。至此,我们曾经导出属于这个晶胞的8个一般等效点。 7.2 二维空间群 (5)按照一般等效点的分布,能够找出各类非根基对称要素。例如,由晶胞核心区域的4个点,能够找到位于1/2,1/2的4次轴。然后,正在这个核心4次轴感化下,能够导出其它4次轴和别的几条垂曲于a和垂曲于b的滑移线个点的关系,能够导出对角线标的目的的滑移线(p?f?p??)以及垂曲于对角线标的目的的对称线条对角线条对称线。最初,从各顶角四周的点的关系,导出位于晶胞边心的4个2次轴。 7.2 二维空间群 表中列出了非点式平面群p4gm各个的乌科夫符号及其相关材料。这里我们看到,对称性最高的,其等效数不等于1。这点式平面群和点式平面群的一个主要区别。 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 三维空间的环境和二维的比拟,要复杂很多。 二维空间的10种点群、5种布拉维格子和17种二维空间群 正在三维空间就别离增至32种点群、14种布拉维格子和230种空间群。 本节着沉会商空间群的根基概念及一些相关问题。 7.3 空间群 晶体外形的宏不雅对称包罗了对称轴、对称面和对称心,其响应的对称操做只要扭转、反映和反伸,对称元素均交于一点(晶体的核心),而且正在进行对称操做时至多该点是不变的。因而,宏不雅对称元素的调集也称为点群。 晶体内部布局的对称被视为无限图形,除了具有宏不雅对称元素之外,还呈现了平移轴、滑移面、螺旋轴等包含平移操做的微不雅对称元素。 所谓空间群(space group)就是晶体内部布局所有对称元素的调集。 对于晶体调集外形等无限图形,平移互换是不成立的,彩天下官网,因而点群中所有对称元素只要标的目的上的意义。 对于晶体布局这种无限图形而言,其平移要素的意义次要表示正在两个方面: (1)对任一晶体布局,老是有无限多标的目的分歧的平移轴存正在。平移轴使得晶体布局中的其他所有对称元素正在空间必然呈周期性的反复。所以,空间群中的每一种对称元素,其数量都是无限的,它们不只都有必然的标的目的,并且此中的每一个对称元素各自还有确定的,彼此间能够借帮于平移轴的感化而反复。 7.3 空间群 (2)平移还能够取反映或扭转互换相连系,从而呈现晶体外部对称上所不克不及存正在的滑移面和螺旋轴等微不雅对称元素。 晶体布局中可能呈现的对称元素的品种远多于晶体几何外形上可能存正在的对称元素品种。 7.3 空间群 7.3 空间群 点群和空间群表现了晶体外形对称取内部布局对称的同一。 空间群可当作是由两部门构成的:一部门是晶体布局中所有平移轴的调集,即所谓的平移群;另一部门就是取点群相对应的其他对称元素的调集,它们正在空间的彼此取向取点群中的环境完全分歧,但每一标的目的上的同种对称元素,为数均无限,它们的相对由平移群来;此外,取响应的点群比力,这些对称元素能够仍然是对称面或对称轴,也可能已变成了滑移面或同轴次的螺旋轴。例如,对应晶体外形L4的标的目的,正在内部布局中可能有4,41,42或43。 空间群是由费德洛夫于1890年和圣佛利斯于1891年别离推导出来的,故亦称为费德洛夫群或圣佛利斯群。 230种空间群简单形式的国际符号以及对应的点群符号赐教材P.89~90 。 7.3 空间群 常用两种记号来暗示空间群,即国际符号和圣佛利斯符号。 国际符号的长处是能曲不雅地看出空间格子类型以及对称元素的空间分布,但错误谬误是统一种空间群因为定向分歧以及其他要素能够写成分歧的形式。 如第62号空间群,能够写为Pnma,也可表达为Pbnm,两者之间基矢的关系为(a,b,c)pnma =(c,a,b)pbnm。 7.3.2 空间群的符号 空间群的圣佛利斯符号形成很简单,只是正在点群的圣佛利斯符号的左上角加上序号就能够了。这是由于属于统一点群的晶体能够别离附属几个空间群。 例如点群C2h一2/m,能够分属6个空间群,其空间群的圣佛利斯符号就记为 7.3 空间群 圣佛利斯符号虽然不克不及看出格子类型和对称元素的空间分布,但每一圣佛利斯符号只取一种空间群相对应。 习惯上两者并用,两头用“一”离隔, 如 一Pcca。 7.3.2 空间群的符号 空间群的国际符号包罗了两个部门: 前半部门是平移群的符号,即布拉维格子的符号,按照格子类型的分歧而别离用字母P,R,I,C(A,B),F等暗示; 后半部门则取其响应点群的符号根基不异,只是要将某些宏不雅对称元素的符号换成响应的微不雅对称元素的符号。 空间群国际符号包含了点阵类型和对称元素及其分布等消息。 7.3.2 空间群的符号 * 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 7.2 二维空间群 7.3 空间群 前面已会商了晶体的根基性质和晶体外形等一系列宏不雅几何纪律。晶体所以具有这些特征的底子缘由正在于它内部的格子构制,只要用格子构制理论才能同一地注释它们。 晶体内部的微不雅对称有异于其宏不雅对称,只要正在对晶体宏不雅和微不雅对称领会的根本之上,才能完整描述晶体的布局。 本章先引见晶体内部的微不雅对称元素,然后引入二维空间群的概念,最初再着沉会商空间群及其相关问题。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 晶体外形是无限图形,它的对称是宏不雅无限图形的对称; 晶体内部布局能够做为无限图形来看待,它的对称属于微不雅无限图形的对称。 这两者之间既互相联系又互有区别。 起首,正在晶体布局中平行于任何一个对称元素有无限多和它不异的对称元素; 其次,正在晶体布局中呈现了一种正在晶体外形上不成能有的对称操做——平移操做,从而使得晶体内部布局除具有外形上可能呈现的那些对称元素之外,还呈现了一些特有的对称元素:平移轴、螺旋轴和滑移面。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 平移轴(translation axis)为一曲线,图形沿此曲线挪动必然距离,可使等同部门沉合,亦即整个图形回复复兴。 晶体布局沿着空间格子中的肆意一条行列挪动一个或若干个结点间距,可使每一质点取其不异的质点沉合。因而,空间格子中的任一行列就是代表平移对称的平移轴。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 空间格子即为晶体内部布局正在三维空间呈平移对称纪律的几何图形。 正在平移这一对称变化中,可以或许使图形回复复兴的最小平移距离,称为平移轴的移距。 任何晶体布局中的肆意行列标的目的皆是平移轴。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 螺旋轴(screw axis)为晶体中一设想曲线,当晶体布局环绕此曲线扭转必然角度,并平行此曲线平移必然距离后,布局中的每一质点都取其不异的质点沉合。整个布局也自相沉合。 辅帮几何要素为一根设想的曲线及取之平行的曲线标的目的。响应的对称操做为环绕此曲线扭转必然的角度和沿此曲线 晶体内部的微不雅对称元素 螺旋轴的国际符号一般写为ns,此中n为轴次,s为小于n的正整数。 螺旋轴的轴次只可能为1,2,3,4,6。 扭转后所平移的矢量? (挪动的距离?称为螺距)为(s/n)·t,t为取平移矢量?相平行的单元矢量,称为基矢。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 按照螺旋轴的轴次和螺距,可分为21,31, 32 ,41, 42 , 43 ,61,62 ,63 ,64,65, 共11种螺旋轴。 宏不雅对称的对称轴(即s=n的环境)能够视为螺距为0的同轴次的螺旋轴。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 螺旋轴据其扭转的标的目的可有左旋螺旋轴(顺时针,左手系)和左旋螺旋轴(逆时针,左手系)及中性螺旋轴(顺、逆时针扭转均可)之分。 一般:对ns而言,若Osn?2,采用左手系(包罗31,42,61,62),螺距r=(s?n)?t;若n?2sn,则采用左手系(包罗32,43,64,65),此时螺距r=(1-s?n) ?t;至于s=n?2,为中性螺旋轴,此时左手和左手系等效。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 滑移面(glide plane),亦称像移面,是晶体布局中一设想的平面,当布局沿此平面反映,并平行此平面挪动必然距离后,整个布局自相沉合。 其辅帮几何要素:一个设想的平面和平行此平面的某一曲线标的目的。响应的对称操做为对于此平面的反映和沿此曲线标的目的平移的结合,平移的距离称为移距。 如图为NaCl构制正在(001)面上的投影。a-a面、b-b面即为滑移面。 若滑移面的移距t=0,就为对称面。晶体宏不雅的对称面正在晶体内部可能为对称面,也可能为滑移面。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 NaCl正在(001)面上的投影 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 滑移面按其挪动的标的目的和移距(也即滑移矢量)可分为a,b,c,n,d五种: a,b,c为轴向滑移,滑移矢量别离为a/2,b/2,c/2; n为对角线滑移,滑移矢量为(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2或(a+b+c)/2; d为金刚石滑移,它的滑移矢量为(a+b)/4,(b+c)/4,(a+c)/4或(a+b+c)/4等,只要正在体心或面心点阵中呈现,这时相关对角线的中点也有一个阵点,所以平移分量仍然是滑移标的目的点阵平移点阵周期的一半。 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 7.1 晶体内部的微不雅对称元素 空间群是一个很是主要的概念。为了更清晰地舆解空间群的内涵,先从二维空间群谈起。 对一个三维的晶体布局而言,它正在某一标的目的的投影,即是一个二维的布局。此外,晶体布局的概况也是一个二维布局。 二维空间群能够视为三维空间群的一个特殊环境。 7.2 二维空间群 所谓二维空间群,就是指平面内图像所有对称元素的调集,也称平面群。 正在二维平面,对称心和倒转轴明显曾经不成能存正在,所以对称元素只剩下6个,即1,2,3,4,6和对称面m。 操纵点群的推导方式,能推导的二维点群只要10种,别离为1,2,4,6,1m,2mm,3m,4mm和6mm。 7.2 二维空间群 将10个平面点群划分为4个晶系: 单斜晶系(m),其特点是没有高次轴和对称面,所以只包含1和2两个二维点群; 正交晶系(o),其特点是有对称面但没有高次轴,故正交晶系含有1m和2mm两个二维点群; 四方晶系(t),特点是有四次轴,包含4,4mm两个二维点群; 六方晶系(h),特点是有3或6次轴,包含的二维点群有3,3m,6和6mm四种。 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 5种布拉维点阵,用mp、op、oc、tp、hp别离暗示单斜原始、正交原始、正交底心、四方原始和六方原始点阵。 7.2 二维空间群 二维周期性图形的对称操做有三类:第一类是点对称操做,只可能是取平面垂曲的扭转轴(1,2,3,4,6次轴)以及过这些轴的对称面m,它们的组合就是上述的10种平面点群; 第二类是平移,用来描述图形的周期性。 第三类是复合操做,即相对于某曲线的反映以及沿此线平移半个周期这两种操做。这种复合操做凭仗的曲线称为滑移线g,它雷同于上述的轴向滑移面(a,b,c滑移面),但反映是相对于曲线,而非平面。 若是平面群中的根基对称要素为交于一点的点对称操做,则称为点式平面群。 根基对称要素中有非点式对称要素,则为非点式平面群。正在平面群中非点式对称操做只要滑移操做一种,相关的对称要素为滑移线 二维空间群 正在平面周期性图形中所有对称元素可能的组合,就是二维空间群。二维空间群只要17种,其序号、国际符号及其响应的二维点群、晶系和点阵等环境拜见下表 。 7.2 二维空间群 7.2 二维空间群 二维空间群国际符号中,第一个英文小写字母p或c代表格子类型, 接着的第一个记号暗示垂曲纸面标的目的投影的对称点, 第二位记号暗示纸面上从左至左(b标的目的或y轴标的目的)的对称元素, 第三位记号则暗示的是由上到下(a标的目的或x轴标的目的)的对称元素。 7.2 二维空间群 图中实线代表对称面,虚线代表滑移线g。这里说的等效点系是指通过二维空间群中所有对称元素联系起来的一组点的。此例中,一般等效点的坐标为:x,y;-x,-y;1/2-x,y;1/2+x,-y (x,y为小于1的负数)。 7.2 二维空间群 *

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